Préface 11 1 Notions de nombres 13 1.1 Variables, constantes,..., ensembles 13 1.2 Nombres naturels 14 1.3 Nombres entiers, notion de groupe 15 1.4 Nombres rationnels, notion de corps commutatif 16 1.5 Calcul algébrique dans un corps commutatif 17 1.6 Droite cartésienne et nombres réels 18 1.7 Nombres irrationnels 20 1.8 Nombres complexes 22 1.9 Comparer des nombres 23 1.10 Ensembles finis, ensembles infinis 25 1.11 Le plus grand, le plus petit 26 1.12 Complétude des réels 27 2 Les nombres hyperréels 29 2.1 Infiniment petits, infiniment grands, limités, appréciables 31 2.2 Opérations sur les nombres hyperréels 33 2.3 Nombres infiniment proches, partie standard 36 2.4 Représentation des nombres limités 40 2.5 Exemples 43 2.6 Exercices 45 2.7 Rapports des nombres hyperréels à la réalité 47 3 Notion de dérivée 49 3.1 Quelques généralités à propos de fonctions 49 3.2 Notion de dérivée 51 4 Principe de Transfert 53 4.1 Formules et systèmes standard 53 4.2 Principe de transfert 56 4.3 Application à la racine carrée 58 4.4 Variantes du Principe de transfert 59 4.5 Application aux fonctions trigonométriques 60 4.6 Définition par cas distincts 62 4.7 Intervalles dans *R 62 4.8 Précautions à prendre en utilisant le Principe de transfert 63 4.9 Exercices 64 5 Dérivées et continuité 65 5.1 Définition de la dérivée 65 5.2 Théorème des accroissements infinitésimaux 68 5.3 Continuité 69 5.4 Règles de dérivation et de continuité 71 5.5 Exercices 75 5.6 Continuité des fonctions monotones 75 5.7 Limites de fonctions 77 5.8 Du "dessin" aux hyperréels et inversément 79 5.9 Exercices 81 6 Ordres de grandeur, différentielles 83 6.1 Ordres de grandeur 83 6.2 Plan hyperréel 85 6.3 Comparaison de points infiniment proches 86 6.4 Le microscope de grossissement 1/Delta 87 6.5 Différentielle 90 6.6 Exercices résolus 92 6.7 df, dx, dy 93 6.8 Principe de Fermat 94 6.9 Exercices 96 7 Tangente à une courbe 99 7.1 Tangente à un graphe 100 7.2 Notion de courbe plane 102 7.3 Tangente à une courbe 106 7.4 Tangente à une courbe données par des équations paramétriques 112 7.5 Exercices 116 8 Espace àndimensions 119 8.1 Espace réel et hyperréel à n dimensions 119 8.2 Utilisation des fonctions réelles de plusieurs variables dans les hyperréels 121 8.3 Extension standard des parties de R, ... de Rn 122 8.4 Dérivées partielles 124 8.5 Continuité de fonctions de plusieurs variables 124 8.6 Exercices 126 9 Nombres hypernaturels 127 9.1 Nombres hypernaturels 127 9.2 Suites et limites de suites 128 9.3 Extension de la notion de somme 131 9.4 Sommer une infinité d'infiniment petits 133 10 Trois résultats importants concernant la continuité 135 10.1 Bornes atteintes et Valeurs intermédiaires 135 10.2 Applications à l'existence de racines 136 10.3 Extension du Principe de transfert 138 10.4 Continuité uniforme 139 11 Intégrales 141 11.1 Discrétisation de [a, b] de pas Deltax 141 11.2 L'idée initiale : l'estimation d'une aire par des rectangles 142 11.3 Sommes de Riemann 144 11.4 Définition de l'intégrale de Riemann 146 11.5 Existence de l'intégrale 146 11.6 Calcul de l'aire 149 11.7 Propriétés des intégrales 150 11.8 Application au logarithme 153 11.9 Intégrales avec des bornes d'intégration hyperréelles 154 11.10 Calcul approché des intégrales 155 12 Théorème de Lagrange et conséquences 157 12.1 Théorèmes de Rolle et de Lagrange 157 12.2 Croissance, décroissance 158 12.3 Application à la recherche d'extrema 159 12.4 Exercices proposés 161 12.5 Théorème des accroissements infinitésimaux, 3e partie 161 13 Le Théorème fondamental 163 13.1 Le Théorème fondamental, 1ère partie 163 13.2 Primitives 164 13.3 Théorème fondamental, 2e partie 166 13.4 Exercices résolus 167 13.5 Exercices 168 14 Logarithmes et exponentielles 169 14.1 Logarithme népérien 169 14.2 La fonction exponentielle 171 14.3 Exposants quelconques 173 14.4 Ordres de grandeurs de ln H, HAlpha, LambdaH et H! 176 14.5 Logarithme en base Lambda 177 14.6 Exercices 178 15 Formule de Taylor d'ordre deux 179 15.1 Formule de Taylor d'ordre deux 179 15.2 Calcul approché des valeurs d'une fonction 180 15.3 Fonctions convexes. Concavité 181 15.4 Méthode de Newton-Raphson 184 16 Etudes de fonctions 189 16.1 Asymptotes 189 16.2 Transformations géométriques simples appliquées à un graphe 190 16.3 Schéma d'étude de fonction 192 16.4 Règle de L'Hospital 195 16.5 Exercices 196 17 Quelques fonctions importantes 197 17.1 Fonctions hyperboliques 197 17.2 Les fonctions hyperboliques réciproques 200 17.3 Courbe de Gauss et Fonction d'erreur 201 17.4 Utiliser des fonctions à valeurs complexes 204 17.5 Exponentielle complexe 205 18 Méthodes d'intégration 207 18.1 Méthode générales d'intégration 208 18.2 Intégration des exponentielle-polynômes 210 18.3 Intégration des fonctions rationnelles 213 18.4 Intégration des expressions en sin x, cos x, tg x 218 18.5 Intégration des expressions en ch ax, sh ax 221 18.6 La Méthode de substitution appliquée en sens opposé 222 18.7 Intégration des irrationnelles R(x, (...)) 223 18.8 Intégration des irrationnelles R(x, (...)) 225 18.9 Exercices 230 19 Quelques applications des intégrales 233 19.1 Volume et aire d'un solide de révolution 233 19.2 Longueur d'un arc de courbe 236 19.3 Exercices 238 20 Equations différentielles du premier ordre 239 20.1 Quelques généralités 239 20.2 Equations à variables séparées 240 20.3 L'exponentielle comme solution d'une équation différentielle 244 20.4 Premières applications de y' = ay 246 20.5 Evolution d'une population, 2e modèle 248 20.6 Equation logistique 251 20.7 Evolution d'une population, 3e modèle 251 20.8 Equations différentielles linéaires, propriétés générales 252 20.9 Equations différentielles linéaires du premier ordre 254 20.10 Application à un circuit électrique RL 259 20.11 Equations différentielles de Bernoulli 261 20.12 Exercices 263 21 Equations différentielles linéaires du second ordre 265 21.1 Equations linéaires homogènes du 2e ordre à coefficients constants 266 21.2 Méthode par "variation de constantes" 271 21.3 Existence et unicité de la solution 274 21.4 Méthode des coefficients indéterminés 275 21.5 Exercices 282 21.6 Equations différentielles linéaires du 2e ordre à coefficients variables 284 21.7 Applications à l'oscillateur harmonique 284 A Solutions des exercices relatifs aux équations différentielles 297
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